ปริศนากล่อง 25 ใบและสมบัติล้ำค่าทั้ง 3

July 7, 2023

ในวันหนึ่งทีมสำรวจได้ออกสำรวจสถานที่ลึกลับ จนได้พบเข้ากับห้องเก็บสมบัติแห่งนึง โดยหลังจากการวิเคราะห์ข้อมูลที่มีอยู่ ทีมสำรวจได้รู้ว่า

เรามีไพ่ไม่พอ

June 9, 2023

Mathematics

เคยสงสัยมั้ยว่า ไพ่ 52 ใบใน 1 สำรับมันวางเรียงกันได้กี่แบบ แล้วสงสัยมั้ยว่าเราสามารถนำไพ่หลาย ๆ สำรับ มาวางเรียงเป็นทุกรูปแบบที่เป็นไปได้ได้มั้ย เรามาลองคิดกันดู

ไพ่ 52 ใบในทุกรูปแบบ

เรามีไพ่ 52 ใบที่แตกต่างกัน ดังนั้นการจัดเรียงรูปแบบทั้งหมดที่เป็นไปได้คือ $ 52! \approx 8.07 \times 10^{67}$ รูปแบบ

52!

1 รูปแบบต้องใช้ไพ่ทั้งหมด 52 ใบ ดังนั้นเราต้องการไพ่ทั้งหมด $8.07 \times 10^{67} * 52 \approx 4.19 \times 10^{69}$ ใบ ถึงจะสามารถจัดเรียงได้ทุกรูปแบบ มากกว่าจำนวนอะตอมทั้งหมดบนโลกซะอีก¹ เลยเป็นที่มาของชื่อบทความนี้ เรามีไพ่ไม่พอ

ถ้าเรามีพอ

ถ้าเราดันมีไพ่จำนวนมากพอที่จะจัดเรียงได้ทุกรูปแบบ เราจะต้องวางแสดงยังไง

ไพ่ 1 ใบกว้าง 64 มม. ยาว 89 มม. หนา 0.24 มม.²
ไพ่ $4.19 \times 10^{69}$ ใบ จะมีปริมาตร

\[4.19\times10^{69} \times (64\times10^{-3} m)(89\times10^{-3} m)(0.24\times10^{-3} m) \approx 5.73 \times 10^{63} m^3\]

$5.73 \times 10^{63}$ ลูกบาศก์เมตร ก็คือเราต้องมีกาแล็กซี่ทางช้างเผือก 13 กาแล็กซี่ถึงจะพอเก็บไพ่ทั้งหมดนี้ได้³ ดังนั้นนอกจากเราจะมีไพ่ไม่พอแล้ว เรายังมีกาแล็กซี่ไม่พออีกด้วย😅

จำนวนอะตอมทั้งหมดบนโลกมีประมาณ $1.3 \times 10^{50}$ อะตอม จาก Brad Hoehne on Quora ↩
Automatic Poker ↩
ทางช้างเผือกมีปริมาตรประมาณ $1.1\times10^{53}$ ลูกบาศก์ไมล์ Wolfram Alpha ↩

มาหาค่าพายจากการสุ่มเลขกันเถอะ

May 27, 2023

Mathematics

Computer Science

ให้ฟังก์ชันนึงสมมติว่าชื่อ rand() สามารถสุ่มเลขระหว่าง 0 ถึง 1 ได้ จงหาค่าพายจากฟังก์ชันนี้ โดยสามารถเรียกฟังก์ชัน rand() ได้ไม่จำกัดครั้ง

กล่าวคือให้หาค่าพายจากการสุ่มเลขระหว่าง 0 ถึง 1

โจทย์นี้¹ ได้มาจาก YouTube ช่อง Joma Tech ดูเป็นโจทย์ที่ไร้สาระมากเลยใช่มั้ย แบบจะไปทำได้ไง แต่ถ้าเห็นเฉลยแล้วเชื่อว่าทุกคนจะอ๋อแน่นอน เฉลยของโจทย์นี้บอกได้ว่าสวยมาก อยากให้ทุกคนลองคิดดูก่อน แล้วค่อยไปดูเฉลยด้านล่างนะ😋

เฉลยจ้า

หลักการคือเราต้องมองโจทย์ให้เป็นระนาบ 2 มิติ โดยที่แต่ละแกนจะยาวตั้งแต่ 0 ถึง 1 แบบนี้

2D plane

เราจะทำการสุ่มจุดบนระนาบนี้ด้วยวิธีการสุ่มค่า x และ y ทีละค่า แล้วเราจะได้จุดจุดหนึ่งขึ้นมา เช่นถ้าเราสุ่มค่า x ได้ 0.6 และ y ได้ 0.4 ก็จะเป็นจุด $(0.6, 0.4)$ ขึ้นมา

2D plane with 1 point

ทีนี้สมมติว่าเราสุ่มลงไปให้ได้ซักประมาณ 20 จุด และตีกรอบสี่เหลี่ยมขนาด 1x1 ครอบไว้ด้วย

2D plane with 20 points and 1x1 rectangle

และแน่นอนว่าถ้าเราพูดถึงค่า $\pi$ ก็ต้องมีวงกลมเข้ามาเกี่ยวข้อง ดังนั้นเราจะเอาวงกลมขนาดรัศมี 1 มาวาดด้วย

2D plane with 20 points and 1x1 rectangle and circle

จะเห็นได้ว่าในสี่เหลี่ยม 1x1 นี้ มีทั้งจุดที่อยู่ในเสี้ยววงกลม และจุดที่อยู่นอกวงกลม ลองจินตนาการว่าถ้าเราสุ่มจุดเพิ่มลงไปบนระนาบเรื่อย ๆ จนมากพอ จะสังเกตได้ว่า

\[\frac{N_c}{N_s} \approx \frac{A_c}{A_s}\]

โดยให้

$N_c$ คือ จำนวนจุดที่อยู่ในเสี้ยววงกลม
$N_s$ คือ จำนวนจุดทั้งหมดในสี่เหลี่ยม
$A_c$ คือ พื้นที่ของเสี้ยววงกลม
$A_s$ คือ พื้นที่ของสี่เหลี่ยม

ดังรูป

2D plane with filled 1x1 rectangle and filled circle

ซึ่งพื้นที่สี่เหลี่ยมในที่นี้คือ $1 \times 1 = 1$ ตร.หน่วย และพื้นที่เสี้ยววงกลมคือ $\frac{\pi(1)^2}{4} = \frac{\pi}{4} $ ตร.หน่วย ดังนั้นจะได้ว่า

\[\begin{align} \frac{N_c}{N_s} &\approx \frac{A_c}{A_s} \\ \frac{N_c}{N_s} &\approx \frac{\frac{\pi}{4}}{1} \\ \pi &\approx 4 \times \frac{N_c}{N_s} \end{align}\]

ฉะนั้นถ้าเราสามารถหาจำนวนจุดที่อยู่ภายในเสี้ยววงกลม และจำนวนจุดที่อยู่ในสี่เหลี่ยมได้ เราก็จะสามารถหาค่า $\pi$ ได้

แล้วเราจะรู้ได้ยังไงล่ะว่าจุดนั้นอยู่ในพื้นที่วงกลมรึเปล่า ง่ายมาก! แค่หาระยะทางหว่างจุดใด ๆ ถึงจุดศูนย์กลาง $(0, 0)$ ถ้าระยะห่างนั้นน้อยกว่าหรือเท่ากับรัศมี (1 หน่วย) ก็แปลว่าจุดนั้นอยู่ในวงกลม ซึ่งสมการระยะห่างจุดสองจุด $(x_1, y_1)$ และ $(x_2, y_2)$ คือ

\[d = \sqrt{(x_1 - x_2)^2 + (y_1 - y_2)^2}\]

และเราสามารถแทนค่า $x_2, y_2$ ด้วย $(0, 0)$ ได้เลย ดังนั้นสมการระยะห่างจะกลายเป็น

\[d = \sqrt{x^2 + y^2}\]

ดังนั้นเราก็สามารถเขียนโปรแกรมเพื่อหาค่า $\pi$ ได้ดังนี้

import random

def rand():
    return random.uniform(0, 1)

def is_in_circle(x, y):
    return x**2 + y**2 <= 1 # ใช้ 1 ได้เลยเพราะรากที่สองของ 1 ก็คือ 1

# n คือจำนวนจุดทั้งหมดที่เราจะสุ่มลงไป
def estimate_pi(n):
    num_in_circle = 0
    for _ in range(n):
        x = rand()
        y = rand()
        if is_in_circle(x, y):
            num_in_circle += 1
    return 4 * num_in_circle / n

Can you solve my favorite interview question? (math + cs) | Joma Tech ↩

Leon's curiosities

The More I Learn, The More I Want To Learn.